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In mwbwfisica classica il mwcamoto di puro rotolamento è quello in cui un mwcqcorpo rigido rotola senza strisciare. La rotazione avviene attorno al punto di contatto istantaneo che ha velocità nulla. La mwcgruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. Normalmente la forza di mwcwattrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo infinitesimo il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito.

La forza di attrito statico non compie alcun lavoro, tuttavia, a causa della deformazione del punto di contatto, si ha una dissipazione di energia: tale effetto viene quantificato dall'mwdqattrito volvente. In ogni caso, questa forma di dissipazione dell'energia è in genere molto minore a quello che ci sarebbe se il punto di contatto strisciasse. Di conseguenza, per mantenere il moto di puro rotolamento viene richiesta un'energia molto minore rispetto a quella necessaria per fare strisciare gli oggetti.

Per avere moto di puro rotolamento è opportuno che l'oggetto sia simmetrico assialmente, anche se non è necessario. La sezione del corpo rigido è in genere un cerchio, tipicamente si ha a che fare quindi con cilindri o sfere.

Un punto qualsiasi sulla superficie durante il moto di puro rotolamento ha come traiettoria una mwfacicloide.

• Applicazioni

• Dinamica

• Energia

• Alcuni casi particolari

• Moto di puro rotolamento con sola forza applicata al centro di massa

• Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse

• Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata

• Palla da biliardo

• Bibliografia

• Altri progetti

La maggior parte dei mezzi di trasporto moderni usano le ruote e quindi sfruttano il moto di puro rotolamento per lo spostamento. Lo slittamento deve essere evitato, altrimenti si perde il controllo del mezzo con gravi conseguenze pratiche. Accade di scivolare se la strada è coperta da neve, sabbia o olio o quando viene eseguita una curva a grande velocità o viene fatta una frenata brusca o una improvvisa accelerazione: cioè quando la forza di attrito statico non riesce ad ancorare il punto di contatto al suolo.

Una delle applicazioni principali del moto di rotolamento è l'uso dei mwgqcuscinetti a sfera. Normalmente sono delle sfere di metallo incapsulate tra due anelli che possono ruotare in maniera indipendente tra di loro. In molti meccanismi, l'anello interno è solidale con l'asse fisso. Quindi l'anello interno è fisso e quello esterno è libero di muoversi con poco mwggattrito. Quasi tutti i mwgwmotori (come quelli dei ventilatori, trapani o utensili elettrici in genere) hanno dei cuscinetti a sfera. L'attrito dipende dalla qualità dei cuscinetti a sfera e dalla loro lubrificazione.

Nelle società primitive per trasportare oggetti pesanti si usavano delle piattaforme piatte poggiate su cilindri di legno che permettevano con il riposizionamento continuo dei tronchi sulla parte frontale, in questa era possibile fare trasporti lineari su grandi distanze. Ovviamente nella società moderna si usano sistemi più semplici ed efficienti.

Indichiamo con mwhw R → → {\displaystyle {\vec {R}}} il vettore che ha origine nel mwiacentro di massa mwiqC del corpo rigido e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto mwigO con il piano di appoggio. La velocità angolare mwiw ω ω → → {\displaystyle {\vec {\omega }}} è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di un qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione:

mwjg v → → O = v → → C + ω ω → → × × R → → {\displaystyle {\vec {v}}_{O}={\vec {v}}_{C}+{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}}

Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che:

mwkg v → → C = − − ω ω → → × × R → → {\displaystyle {\vec {v}}_{C}=-{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}}

Quindi, se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo

mwlg v C = ω ω R {\displaystyle v_{C}=\omega R}

cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la mwmavelocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche:

mwmw | a C | = | α α | R {\displaystyle |a_{C}|=|\alpha |\,R}

avendo indicato con mwnq a C {\displaystyle a_{C}} l'accelerazione del centro di massa e con mwng α α {\displaystyle \alpha } l'mwnwaccelerazione angolare.

Detta mwog ω ω {\displaystyle \omega } la velocità angolare istantanea, il moto nel punto di contatto è un moto solo rotatorio e se il momento di inerzia del corpo attorno al punto di contatto è mwow I O {\displaystyle I_{O}} , l'mwpaenergia cinetica è rotazionale e vale:

mwpw E K = 1 2 I O ω ω 2 {\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}I_{O}\omega ^{2}}

Se il corpo rigido è simmetrico assialmente, con massa mwqq M {\displaystyle M} e distanza tra il punto di contatto e il centro di massa pari a mwqg R {\displaystyle R} , per il mwqwteorema di Huygens-Steiner la relazione che lega mwra I O {\displaystyle I_{O}} con il mwrqmomento di inerzia mwrg I {\displaystyle I} associato ad un asse parallelo passante per il centro di massa è:

mwsq I O = I + M R 2 {\displaystyle I_{O}=I+MR^{2}}

Quindi posso anche scrivere:

mwtq E K = 1 2 I ω ω 2 + 1 2 M ω ω 2 R 2 {\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\omega ^{2}R^{2}}

Ma nel moto di puro rotolamento si ha che mwtw ω ω 2 R 2 = v C 2 {\displaystyle \omega ^{2}R^{2}=v_{C}^{2}} , quindi

mwug E K = 1 2 I ω ω 2 + 1 2 M v C 2 = E K R + E K T {\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}=E_{KR}+E_{KT}}

Cioè il moto di puro rotolamento è la combinazione di un moto rotatorio e di uno traslatorio del centro di massa, con una energia cinetica rotazionale mwva E K R = 1 2 I ω ω 2 {\displaystyle E_{KR}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}} ed una traslazionale mwvq E K T = 1 2 M v C 2 {\displaystyle E_{KT}={\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}} .

Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio mwxq R {\displaystyle R} e massa mwxg M {\displaystyle M} come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la forza motrice mwxw F {\displaystyle F} parallela al piano applicata al centro di massa; mwya f {\displaystyle f} la forza di attrito statico; la forza peso mwyq M g {\displaystyle Mg} , la reazione vincolare mwyg N {\displaystyle N} . La reazione vincolare bilancia esattamente la mwywforza peso (se la superficie fosse un mwzapiano inclinato l'equazioni sarebbero diverse):

mwzw N = M g {\displaystyle N=Mg}

Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria (mwaqprima equazione cardinale) è:

mwba F − − f = M a C → → a C = F − − f M {\displaystyle F-f=Ma_{C}\rightarrow a_{C}={\frac {F-f}{M}}}

Per quanto riguarda il mwbgmomento angolare (mwbwseconda equazione cardinale), definendo con mwca I {\displaystyle I} il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo:

mwcw R f = I α α → → α α R = R 2 f I {\displaystyle Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {R^{2}f}{I}}}

Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento:

mwdw F − − f M = R 2 f I {\displaystyle {\frac {F-f}{M}}={\frac {R^{2}f}{I}}}

L'unica incognita diventa la forza di attrito mweq f {\displaystyle f} che vale:

mwfa f = F 1 + M R 2 / I {\displaystyle f={\frac {F}{1+MR^{2}/I}}\ }

Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione di immobilità del punto di contatto, cioè:

mwga f ≤ ≤ f m a x = μ μ s N = μ μ s M g {\displaystyle f\leq f_{\mathrm {max} }=\mu _{s}N=\mu _{s}Mg}

Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo:

mwha F ≤ ≤ F m a x = μ μ s M g ( 1 + M R 2 I ) {\displaystyle F\leq F_{\mathrm {max} }=\mu _{s}Mg\left(1+{\frac {MR^{2}}{I}}\right)}

Notare che se venisse applicata una forza maggiore di mwhg F m a x {\displaystyle F_{\mathrm {max} }} , il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolamento in quanto:

mwiq | v → → C | > | ω ω → → × × R → → | {\displaystyle |{\vec {v}}_{C}|>|{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}|}

Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevarrebbe sul moto rotatorio.

La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (mwja f R {\displaystyle fR} ) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza mwjq F {\displaystyle F} applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non fosse perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie.

Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta. Matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali ed mwjw F m a x {\displaystyle F_{\mathrm {max} }} sarebbe stata la forza frenante massima applicabile.

Immaginiamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore mwlw τ τ {\displaystyle \tau } . Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente.

La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha:

mwmw f = M a C → → a C = f M {\displaystyle f=Ma_{C}\rightarrow a_{C}={\frac {f}{M}}\ }

Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta:

mwnw τ τ − − R f = I α α → → α α R = τ τ R − − R 2 f I {\displaystyle \tau -Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}}

Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento):

mwow f M = τ τ R − − R 2 f I {\displaystyle {\frac {f}{M}}={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}}

Da cui si ricava che mwpq f {\displaystyle f} vale:

mwqa f = τ τ R ( 1 + I / M R 2 ) {\displaystyle f={\frac {\tau }{R(1+I/MR^{2})}}\ }

la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che:

mwra f ≤ ≤ f m a x = μ μ s N = μ μ s M g {\displaystyle f\leq f_{\mathrm {max} }=\mu _{s}N=\mu _{s}Mg\ }

e quindi:

mwsa τ τ ≤ ≤ τ τ m a x = μ μ s M g R ( 1 + I M R 2 ) {\displaystyle \tau \leq \tau _{\mathrm {max} }=\mu _{s}MgR\left(1+{\frac {I}{MR^{2}}}\right)\ }

Se il momento applicato è maggiore di mwsg τ τ m a x {\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }} il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di un'automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio; la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale.

Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa.

Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione mwvq θ θ {\displaystyle \theta } e che sul corpo agisca un momento motore mwvg τ τ {\displaystyle \tau } . La forza peso ha una componente tangenziale al piano mwvw M g sin ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle Mg\sin \theta } e una normale mwwa M g cos ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle Mg\cos \theta } . La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano:

mwww N = M g cos ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle N=Mg\cos \theta \ }

Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è:

mwxw M a C = f − − M g sin ⁡ ⁡ θ θ → → a C = f M − − g sin ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle Ma_{C}=f-Mg\sin \theta \rightarrow a_{C}={\frac {f}{M}}-g\sin \theta \ }

Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta:

mwyw τ τ − − R f = I α α → → α α R = τ τ R − − R 2 f I {\displaystyle \tau -Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}\ }

Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che:

mwzw f = τ τ / ( R ) + I g sin ⁡ ⁡ θ θ / ( R 2 ) 1 + I / ( M R 2 ) {\displaystyle f={\frac {\tau /(R)+Ig\sin \theta /(R^{2})}{1+I/(MR^{2})}}\ }

Imponendo la condizione che:

mw0w f ≤ ≤ μ μ s N = μ μ s M g cos ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle f\leq \mu _{s}N=\mu _{s}Mg\cos \theta \ }

Si ha che per avere moto di puro rotolamento:

mw1w τ τ ≤ ≤ τ τ m a x = μ μ s M g R cos ⁡ ⁡ θ θ ( 1 + I M R 2 ) − − I g R sin ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle \tau \leq \tau _{\mathrm {max} }=\mu _{s}MgR\cos \theta \left(1+{\frac {I}{MR^{2}}}\right)-{\frac {Ig}{R}}\sin \theta }

Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo mw2q τ τ m a x {\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }} ) cioè se si ha che mw2g θ θ ≥ ≥ arctan ⁡ ⁡ [ μ μ s ( M R 2 / I + 1 ) ] {\displaystyle \theta \geq \arctan {{\bigl [}\mu _{s}(MR^{2}/I+1){\bigr ]}}} .

In discesa mw3a θ θ < 0 {\displaystyle \theta <0} è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa mw3q τ τ / ( M R ) < − − I g sin ⁡ ⁡ θ θ / ( R 2 ) {\displaystyle \tau /(MR)<-Ig\sin \theta /(R^{2})} la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura.

Immaginiamo di avere una palla da biliardo di massa mw4a M {\displaystyle M} , raggio mw4q R {\displaystyle R} , momento di inerzia mw4g I {\displaystyle I} rispetto al centro colpita da un mw4wimpulso mw5a J {\displaystyle J} parallelo al piano d'appoggio esattamente all'altezza centrale. La variazione di mw5qquantità di moto della palla è pari all'impulso ricevuto:

mw6a J = M v 0 {\displaystyle J=Mv_{0}\ }

Mentre la velocità angolare iniziale è nulla. Se il coefficiente di attrito dinamico è pari mw6g μ μ {\displaystyle \mu } . Utilizzando la mw6wprima equazione cardinale:

mw7g M d v C d t = − − μ μ M g {\displaystyle M{\frac {\mathrm {d} v_{C}}{\mathrm {d} t}}=-\mu Mg}

Quindi inizialmente il moto è mw8amoto rettilineo uniformemente accelerato la cui equazione oraria è:

mw8w v C ( t ) = v 0 − − μ μ g t = J M − − μ μ g t = J − − μ μ M g t M {\displaystyle v_{C}(t)=v_{0}-\mu gt={\frac {J}{M}}-\mu gt={\frac {J-\mu Mgt}{M}}}

La forza di attrito essendo applicata sul punto di contatto esercita un momento e quindi usando la mw9qseconda equazione cardinale:

mw-a I d ω ω d t = μ μ M g R {\displaystyle I{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}=\mu MgR}

Per cui inizialmente la velocità angolare aumenta linearmente:

mw-a ω ω ( t ) = μ μ M g R I t {\displaystyle \omega (t)=\mu {\frac {MgR}{I}}t\ }

Quando si verifica che:

mwaqa ω ω ( t x ) R = v c ( t x ) {\displaystyle \omega (t_{x})R=v_{c}(t_{x})\ }

cioè quando:

mwaqq μ μ M g R 2 I t x = J − − μ μ M g t x M {\displaystyle \mu {\frac {MgR^{2}}{I}}t_{x}={\frac {J-\mu Mgt_{x}}{M}}}

mwaqy t x = J μ μ M g ( 1 + M R 2 I ) {\displaystyle t_{x}={\frac {J}{\mu Mg\left(1+{\dfrac {MR^{2}}{I}}\right)}}}

Il moto diviene di puro rotolamento e la velocità del centro di massa e la velocità angolare non variano più. In realtà esiste mwaqgl'attrito volvente che è stato trascurato nel ragionamento che esercita una debole azione frenante.

• mwaqwP. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci, FIsica Volume 1, 2ª ed., Napoli, EdiSes Wiley, 2003, ISBN 88-7959-137-1.

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